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Métodos de interpolación para superficies de volatilidad

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Esta página complementa Cómo se construyen las superficies de volatilidad. Empiece allí para entender por qué importa la interpolación.

La superficie de volatilidad tiene huecos. La interpolación los rellena. El método elegido determina si la superficie resultante es suave, libre de arbitraje y estable. Esta página compara los enfoques principales.

Métodos de Interpolación Comparados

45%55%65%75%Vol Implícita80%90%100%110%120%Strike (% del spot)LinealSpline cúbicoSVI
Los puntos blancos son las únicas cotizaciones reales del mercado. Todo lo que está en el medio es estimado. Haz clic en cada método para ver sus fortalezas y debilidades.

Qué sale mal​

Antes de entrar en cada método, vea los problemas usted mismo. Las mismas 7 observaciones de mercado, tres métodos de interpolación distintos. Observe lo que ocurre en las alas y en los puntos de datos.

Qué sale mal: fallos de interpolación

Las mismas 7 observaciones de mercado, tres métodos de interpolación distintos. Observe qué ocurre en las alas.

Curvas polinómicas suaves. Pueden oscilar y sobrepasarse en las alas.
40%50%60%70%80%extrapolaciónextrapolaciónSobreimpulso-0.3-0.2-0.1ATM0.10.20.3Log-moneyness (k)Vol implícita (%)

Los puntos blancos son las únicas observaciones reales. Haga clic en "Comparar todo" para superponer los tres métodos. Observe cómo el spline se sobrepasa en el ala izquierda mientras SVI se mantiene acotado.

Métodos no paramétricos​

Estos métodos ajustan curvas a través de los puntos de datos sin suponer una forma funcional. Son rápidos y sencillos, pero no ofrecen garantías estructurales.

Interpolación lineal​

Trace líneas rectas entre puntos de datos adyacentes.

Ventajas:

  • Trivial de implementar
  • Sin ajuste ni optimización
  • Determinista: las mismas entradas siempre producen las mismas salidas

Desventajas:

  • Crea esquinas abruptas en cada punto de datos. Estas esquinas producen primeras derivadas discontinuas, lo que significa que las griegas (especialmente gamma) saltan bruscamente en los strikes observados.
  • No hay garantía contra el arbitraje butterfly. Una línea recta entre dos puntos puede quedar por debajo de donde debería estar una sonrisa convexa.
  • La extrapolación es pura especulación (simplemente prolonga la pendiente del último segmento).

Úselo para: estimaciones rápidas, comprobaciones de cordura, depuración. No para precios en producción.

Interpolación por spline cúbico​

Ajuste polinomios cúbicos por tramos entre los puntos de datos, con la restricción de que la primera y la segunda derivada coincidan en cada unión. El resultado es una curva suave C2C^2 (curvatura continua).

El nombre proviene de los splines de dibujo técnico: tiras flexibles de madera que los delineantes curvaban a través de clavijas para trazar curvas suaves.

Ventajas:

  • Curva suave a través de todos los puntos de datos
  • Sin estimación de parámetros (el spline queda determinado por los datos y las condiciones de frontera)
  • Rápido de calcular

Desventajas:

  • Fenómeno de Runge: en los bordes del dominio de interpolación, el polinomio puede desbordarse de forma descontrolada. En superficies de volatilidad esto se traduce en IV de las alas que se disparan o se vuelven negativas.
  • Oscilación: entre los puntos de datos, la cúbica puede oscilar por encima o por debajo de lo que produciría una sonrisa bien comportada, creando hundimientos cóncavos (arbitraje butterfly).
  • Sensibilidad a valores atípicos: un solo punto de datos erróneo (cotización obsoleta, error de digitación) distorsiona toda la curva, porque las restricciones de suavidad propagan el error.
  • Sin control sobre el comportamiento de la extrapolación.

Úselo para: visualización, trabajo académico o como estimación inicial antes del ajuste paramétrico. No para precios ni riesgo en producción.

Métodos paramétricos​

Estos métodos suponen una forma funcional para la sonrisa y ajustan sus parámetros a los datos. Sacrifican la interpolación exacta a cambio de control estructural.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)​

El estándar de la industria para superficies de volatilidad de cripto y renta variable. Cinco parámetros por cada vencimiento.

w(k)=a+b(ρ(k−m)+(k−m)2+σ2)w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)

Consulte la referencia completa: Parametrización SVI

Por qué domina: SVI es el punto óptimo entre flexibilidad y parsimonia. Cinco parámetros pueden ajustar casi cualquier forma de sonrisa observada, mientras que unas simples restricciones de desigualdad más una verificación de densidad barata descartan el arbitraje butterfly. Las alas tienden a asíntotas lineales, por lo que la extrapolación es acotada y razonable.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)​

Un modelo de volatilidad estocástica que deriva la sonrisa a partir de supuestos sobre cómo evoluciona la volatilidad. Cuatro parámetros: α\alpha (nivel de volatilidad), β\beta (exponente CEV), ρ\rho (correlación spot-volatilidad), ν\nu (volatilidad de la volatilidad).

Consulte la referencia completa: Modelo SABR

Por qué existe: SABR captura la dinámica de la sonrisa, no solo su forma estática. Le indica cómo debería moverse la sonrisa cuando se mueve el activo subyacente (sticky delta por defecto). Esto lo hace natural para las swaptions de tipos de interés, donde la dinámica de la sonrisa importa para la cobertura.

Volatilidad local (Dupire)​

No es un método de ajuste en el sentido habitual. La volatilidad local deriva una superficie de volatilidad instantánea a partir de la superficie de volatilidad implícita observada. Responde a la pregunta: "¿Cuál debe ser la volatilidad instantánea en cada combinación de (spot, tiempo) para reproducir exactamente estos precios de opciones?"

Consulte la referencia completa: Volatilidad local

Por qué existe: la volatilidad local es el único modelo libre de arbitraje que coincide exactamente con todos los precios de opciones observados. Es el puente entre la volatilidad implícita y un motor de valoración capaz de manejar payoffs dependientes de la trayectoria.

SSVI (Surface SVI)​

Una extensión de SVI que modela toda la superficie de forma conjunta, no vencimiento por vencimiento. SSVI garantiza la ausencia de arbitraje de calendario por construcción: la varianza total aumenta con el vencimiento en cada strike.

w(k,θt)=θt2(1+ρ φ(θt) k+(φ(θt) k+ρ)2+(1−ρ2))w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)

Donde θt\theta_t es la varianza total ATM en el tiempo tt y φ(θt)\varphi(\theta_t) controla cómo evoluciona el skew con el vencimiento.

Compromiso: menos parámetros libres que SVI por vencimiento (la forma de la sonrisa está vinculada entre vencimientos), por lo que el ajuste puede ser algo peor en vencimientos individuales. Pero nunca necesitará correcciones a posteriori del arbitraje de calendario.

Tabla comparativa​

Método
Parámetros
¿Libre de arbitraje?
Extrapolación
Velocidad
Ideal para
Lineal
0
No
No acotada
Instantánea
Depuración
Spline cúbico
~12 (implícitos)
No
Oscila
Rápida
Visualización
SVI
5 por vencimiento
Sí (con restricciones)
Lineal acotada
Rápida
Cripto / renta variable
SABR
4
Mayormente
Razonable
Media
Tipos / swaptions
Volatilidad local
Malla completa
Por construcción
N/A (derivada)
Lenta
Valoración de exóticas
SSVI
~6 (superficie)
Sí (también calendario)
Acotada
Rápida
Consistencia de toda la superficie

Cómo elegir​

  • Para valoración en producción de cripto/renta variable: SVI o SSVI. La industria ha convergido aquí por buenas razones.
  • Para opciones de tipos de interés: SABR. Captura la dinámica de la sonrisa que importa para la cobertura de swaptions.
  • Para valoración de derivados exóticos: volatilidad local (o un híbrido de volatilidad local estocástica). Necesita la superficie completa, no solo vencimientos aislados.
  • Para análisis rápido o visualización: el spline cúbico sirve, siempre que no opere con él.
  • Para nada: interpolación lineal en producción. En serio.

Explorador de ecuaciones​

Todos los métodos de interpolación trabajan con varianza total y log-moneyness. Use esta calculadora para convertir entre representaciones.

Explorador de ecuaciones

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
La volatilidad implícita
días
Días calendario hasta el vencimiento
Varianza total (w)
0.022225
Varianza anualizada (σ²)
0.2704
IV recalculada (ida y vuelta)
52.00%
La varianza total es lo que ajustan SVI y otros modelos. Escala con el tiempo, por lo que una vol del 50% a 30 días tiene menos varianza total que una vol del 50% a 90 días.

Véase también:

Última actualización el