Volatilidad local

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Esta página cubre el modelo de volatilidad local de Dupire. Para ver cómo encaja en el proceso de construcción de la superficie de volatilidad, consulte Cómo se construyen las superficies. Para una comparación con otros métodos, consulte Métodos de interpolación.

La volatilidad local es la volatilidad instantánea del activo subyacente en un nivel de precio y un momento específicos. Es la función $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ que, al introducirse en un modelo de difusión, reproduce exactamente todos los precios observados de opciones europeas.

La idea fue desarrollada de forma independiente por Bruno Dupire (1994) y por Derman y Kani (1994). Es el único modelo que se ajusta a toda la superficie de volatilidad implícita sin supuestos adicionales.

Volatilidad implícita vs. volatilidad local

La idea clave: la volatilidad implícita es un promedio combinado de las volatilidades locales a lo largo de la trayectoria hasta el vencimiento. La volatilidad local es la volatilidad instantánea, "punto por punto".

Volatilidad implícita vs. volatilidad local

Smile típico de acciones/cripto. La volatilidad local es mayor y más puntiaguda que la implícita.

La volatilidad local (línea continua) siempre es más puntiaguda que la implícita (discontinua). La volatilidad implícita es un promedio ponderado de las volatilidades locales a lo largo de la trayectoria.

Alterne entre las formas de sonrisa y observe:

• La volatilidad local siempre tiene picos más pronunciados. Como la volatilidad implícita promedia a lo largo de la trayectoria, suaviza los extremos. La volatilidad local muestra la imagen en bruto, sin promediar.
• Un skew implícito más pronunciado implica una volatilidad local más extrema. En el caso de skew pronunciado (crisis), la volatilidad local se dispara en el ala izquierda. Es el modelo diciendo: "Si el spot cae tanto, la volatilidad instantánea tendría que ser muy alta para justificar los precios observados de las opciones put."
• La relación es como la de las tasas spot frente a las tasas forward. La volatilidad implícita es la tasa spot (promedio desde hoy hasta el vencimiento). La volatilidad local es la tasa forward (la tasa instantánea en un punto futuro).

Qué significa la volatilidad local

Imagine el precio del activo subyacente evolucionando a través de un paisaje de volatilidades. En cada punto del espacio (precio, tiempo) hay una volatilidad específica. A medida que el activo subyacente se desplaza, experimenta distintas volatilidades instantáneas.

Una opción ATM a 30 días con una volatilidad implícita del 50% podría recorrer volatilidades locales de entre el 40% y el 65% a lo largo de su trayectoria. El 50% de volatilidad implícita es el promedio neutral al riesgo de todas esas volatilidades locales, ponderado por el tiempo que se pasa en cada nivel.

Por eso dos opciones con distintos strikes pueden tener volatilidades implícitas diferentes aunque dependan del mismo proceso subyacente: recorren partes distintas del paisaje de volatilidad local.

Cuándo usar la volatilidad local

Valoración de opciones exóticas

Es el caso de uso principal de la volatilidad local. El flujo de trabajo:

1. Observar los precios de opciones europeas (o las volatilidades implícitas) en el mercado
2. Ajustar una superficie de volatilidad implícita libre de arbitraje (con SVI, SSVI o similar)
3. Derivar la superficie de volatilidad local mediante la fórmula de Dupire
4. Construir un motor numérico de valoración (EDP por diferencias finitas o Monte Carlo) usando la superficie de volatilidad local
5. Valorar la exótica haciendo evolucionar el activo subyacente a través del paisaje de volatilidad local

La garantía: cualquier exótica valorada con volatilidad local es coherente con todos los precios observados de opciones europeas. El precio de su opción barrera no contradice a las vanillas, lo cual es importante para la cobertura.

Griegas coherentes con la superficie

Las griegas calculadas con volatilidad local tienen en cuenta que la volatilidad cambia cuando se mueve el spot. La delta bajo volatilidad local difiere de la delta de Black-Scholes porque el modelo "sabe" que desplazarse a otro nivel de spot implica experimentar otra volatilidad local. Conceptualmente es similar a lo que Taleb llama "shadow gamma": el cambio adicional de delta que surge porque la volatilidad cambió al moverse el spot.

El problema de la dinámica

La volatilidad local tiene una debilidad bien conocida: predice una dinámica de la sonrisa incorrecta.

Con volatilidad local, la volatilidad es una función determinista del spot. Una vez que se sabe dónde está el spot, se sabe exactamente cuál es la volatilidad. No hay "sorpresa" en la volatilidad. Esto significa que:

• Cuando el spot cae, la volatilidad local dice que la volatilidad siempre iba a ser así de alta a ese precio. La sonrisa se aplana.
• En la práctica, cuando el spot cae, la volatilidad suele subir más de lo que predice la volatilidad local, y la sonrisa se empina.

El resultado: la volatilidad local infravalora sistemáticamente las opciones que dependen de la forma futura de la sonrisa (opciones barrera, opciones forward-start, cliquets).

Volatilidad local frente a otros modelos

	Volatilidad local	SVI	SABR
Qué es	Volatilidad instantánea en cada (S, t)	Forma paramétrica de la sonrisa	Modelo de volatilidad estocástica
¿Observable?	No (derivada)	No (ajustado)	No (ajustado)
Calibración exacta	Sí (por construcción)	Aproximada	Aproximada
Dinámica de la sonrisa	Incorrecta (determinista)	No especificada	Mejor (estocástica)
Valoración de exóticas	Sí (uso principal)	No	Limitada
Velocidad	Lenta (EDP/MC)	Rápida	Rápida (fórmula)
Ideal para	Barreras, asiáticas, exóticas	Valoración de vanillas, riesgo	Swaptions, vanillas de FX

Relación con otros modelos

De volatilidad implícita a volatilidad local: la fórmula de Dupire. Requiere como entrada una superficie implícita libre de arbitraje.

De volatilidad local a volatilidad implícita: resolver una EDP forward sobre la superficie de volatilidad local, valorar las europeas e invertir para obtener las volatilidades implícitas. El recorrido de ida y vuelta es exacto por construcción.

SABR y volatilidad local: el parámetro $\beta$ de SABR controla la estructura base de la volatilidad local (volatilidad absoluta $\sim F^\beta$, por lo que la volatilidad porcentual $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), mientras que $\nu$ añade una capa estocástica encima. SABR puede verse como una aproximación paramétrica a la volatilidad local con dinámica adicional.

SVI y volatilidad local: SVI le da la superficie implícita. Después, Dupire le da la volatilidad local. La cadena: cotizaciones de mercado -> ajuste SVI -> superficie implícita -> Dupire -> volatilidad local -> valorador de exóticas.

Construir intuición matemática

Aprenda volatilidad local desde ceroLección interactiva · cubre la fórmula de Dupire

La lección interactiva anterior cubre el modelo de volatilidad local de Dupire desde los fundamentos: por qué la volatilidad implícita es un promedio ponderado por trayectoria de las volatilidades locales, cómo la fórmula de Dupire extrae la volatilidad local de los precios observados, la relación entre la sonrisa de volatilidad implícita y la superficie de volatilidad local, y por qué la volatilidad local importa para valorar exóticas dependientes de la trayectoria.

Implementaciones de código abierto

Repositorio	Por qué revisarlo
QuantLib	Volatilidad local de Dupire con motor de valoración por diferencias finitas
OpenGamma Strata	Construcción de superficies de volatilidad local a partir de datos de mercado
RustQuant	Valoración con volatilidad local en Rust

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Véase también:

• Parametrización SVI - El modelo usado para construir la superficie implícita
• Modelo SABR - Una alternativa de volatilidad estocástica
• Métodos de interpolación - Comparación de todos los métodos
• Cómo se construyen las superficies - El proceso completo