Modelo Polinomial Quíntico

SVI es el estándar de la industria para ajustar un smile de volatilidad -- 5 parámetros, un slice a la vez. Pero SVI incorpora un supuesto de forma específico: el smile es siempre una hipérbola trasladada y escalada. Cuando el mercado hace algo que SVI no puede producir, el ajuste se degrada. El modelo Polinomial Quíntico (Gauthier & Possamai, 2023) elimina por completo el supuesto de forma. Ajusta la varianza implícita total como un polinomio en log-moneyness -- un polinomio de 4.º o 5.º grado con 5 o 6 coeficientes. Puede ajustar cualquier forma de smile que produzca el mercado, incluidas aquellas que SVI no captura por su estructura.

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SVI sin la restricción de forma

El mismo número de parámetros que SVI. El mismo ajuste de un slice a la vez. Pero donde SVI impone una forma hiperbólica, el polinomio deja que los datos decidan. La contrapartida: usted pierde el comportamiento de las alas integrado en SVI y necesita restricciones explícitas para garantizar la ausencia de arbitraje. El skew y la curvatura son controles independientes.

Véalo en acción

Arrastre los controles deslizantes para explorar cómo cada coeficiente da forma al smile. Pruebe el preset "Double bump" para ver una forma que SVI no puede producir.

Explorador de smile con polinomio quíntico

Forma parabólica típica de SVI. Alas simétricas con skew moderado.

Nivel ATM0.045

Fija el nivel general de vol

Skew-0.015

Inclina el smile a la izquierda (skew de puts) o a la derecha

Curvatura0.080

Cuánto se abre el smile

Asimetría-0.010

Hace un ala más empinada que la otra

Pendiente de las alas0.020

Controla qué tan rápido suben las alas. Valores altos = colas empinadas.

Pruebe "Doble joroba" y active "Mostrar referencia SVI" para ver una forma que el polinomio puede producir y que SVI, estructuralmente, no.

Cómo funciona

1. Varianza total como polinomio

Para un vencimiento dado $T$, la varianza implícita total $w(k) = \sigma^2(k) \cdot T$ se modela como un polinomio en log-moneyness $k = \log(K/F)$:

$$w(k) = c_0 + c_1 k + c_2 k^2 + c_3 k^3 + c_4 k^4$$

Cada coeficiente tiene una interpretación directa para el trader:

Coeficiente

Nombre para el trader

Qué controla

c0

Nivel ATM

Nivel general de volatilidad. Un c0 más alto = mayor volatilidad implícita ATM.

c1

Skew

Inclina el smile. Negativo = skew de puts (ala izquierda más alta).

c2

Curvatura

Cuánto se abre el smile. Controla lo caro que está el butterfly.

c3

Asimetría

Hace que un ala sea más pronunciada que la otra. Efecto de potencia impar.

c4

Pendiente de las alas

Controla qué tan rápido suben las alas en strikes extremos.

2. Las restricciones de arbitraje son cotas simples

Para que el polinomio esté libre de arbitraje (varianza positiva, precios de call convexos), las restricciones se reducen a desigualdades sobre los coeficientes. No se necesitan comprobaciones numéricas complejas -- basta con acotar los coeficientes durante el ajuste.

3. El ajuste es rápido

Ajustar un polinomio a datos de mercado es un problema de mínimos cuadrados, que se resuelve en microsegundos. El ajuste se pondera hacia los strikes ATM, donde la liquidez es mayor. Si se añaden las cotas de los coeficientes como restricciones lineales, se obtiene un pequeño QP (programa cuadrático) -- más rápido y robusto que la optimización no lineal de SVI.

ℹ️

Los polinomios de mayor grado oscilan en las alas

Los polinomios de grado 6 o 7 oscilan en las alas (fenómeno de Runge). Un grado 4-5 tiene suficiente flexibilidad para capturar formas reales del smile sin generar artefactos más allá del último strike líquido. Para el comportamiento de las alas muy OTM, se necesitan reglas de extrapolación explícitas.

Quíntico vs. SVI

Característica

SVI

Polinomial Quíntico

Parámetros por slice

5

5 (cuártico) o 6 (quíntico)

Supuesto de forma

Hiperbólico (incorporado)

Ninguno

Calidad del ajuste

Buena para smiles típicos

Puede ajustar cualquier forma

Extrapolación de las alas

Lineal (acotada)

Polinomial (diverge)

Restricciones de arbitraje

No lineales complejas

Cotas simples sobre coeficientes

Método de ajuste

Optimización no lineal

Mínimos cuadrados / QP

Adopción en la industria

Décadas de uso

Nuevo (2023)

Versión de superficie tipo SSVI

Sí (SSVI)

En fase de investigación

Relevancia para cripto

Los smiles en cripto suelen ser asimétricos de formas con las que SVI tiene dificultades -- skew de puts pronunciado por cascadas de liquidaciones, protuberancias inusuales del lado de las calls por la opcionalidad de airdrops, o smiles con "quiebres" alrededor de precios de ejercicio populares con open interest concentrado. El modelo polinomial ajusta estas formas sin imponer una estructura hiperbólica. La delta y la vega calculadas a partir del smile polinomial son suaves por construcción. La principal limitación: las opciones cripto tienen strikes dispersos, y los polinomios pueden comportarse mal entre puntos de datos si no se restringen con cuidado.

💡

La simplicidad de SVI sin su sesgo de forma

Ajusta smiles que SVI, por su estructura, no puede producir. El costo: usted pierde la extrapolación bien comportada de las alas de SVI y debe gestionar las restricciones de arbitraje de forma explícita. Las superficies de múltiples vencimientos necesitan restricciones de estructura temporal por separado. Ideal para mercados donde el smile es inusual o los residuos del ajuste de SVI son demasiado grandes.

Explorador de ecuaciones

Convierta entre volatilidad implícita, varianza total, log-moneyness y precios de opciones.

Explorador de ecuaciones

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Vol implícita (σ)

%

La volatilidad implícita

Tiempo al vencimiento

días

Días calendario hasta el vencimiento

Varianza total (w)

0.022225

Varianza anualizada (σ²)

0.2704

IV recalculada (ida y vuelta)

52.00%

La varianza total es lo que ajustan SVI y otros modelos. Escala con el tiempo, por lo que una vol del 50% a 30 días tiene menos varianza total que una vol del 50% a 90 días.

Pon a prueba tu comprensión antes de continuar.

Q: ¿Por qué el Polinomial Quíntico puede ajustar formas de smile que SVI no puede?

Q: ¿Cuál es la principal desventaja de usar un polinomio para la extrapolación de las alas?

Q: Está ajustando un vencimiento de 3 días en un activo cripto con solo 6 strikes líquidos. ¿Preferiría SVI o el polinomio?

💡 Consejo: Intenta responder cada pregunta por tu cuenta antes de revelar la respuesta.

Construir intuición matemática

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Esta lección explica por qué un ajuste polinomial le da flexibilidad adicional al smile, cómo funciona el polinomio de varianza total y por qué las comprobaciones de arbitraje más estrictas importan en cuanto se permite que la forma se mueva con más libertad.

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Véase también:

• Parametrización SVI -- El modelo paramétrico estándar de la industria que este extiende
• SSVI (Surface SVI) -- Extensión de SVI a superficie, consistente entre vencimientos
• SANOS (Superficies no paramétricas) -- Enfoque totalmente no paramétrico con ajuste por LP
• Neural SDE / Deep Hedging -- Enfoque basado en datos que aprende la dinámica de extremo a extremo
• Métodos de interpolación -- Comparación de todos los métodos